Leanによるほぼ常に真となるABC予想の形式化

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Leanによるほぼ常に真となるABC予想の形式化

Leanによるほぼ常に真となるABC予想の形式化

本リポジトリは、形式手法言語Leanを用いて「ほぼ常に真であるABC予想（True Almost Always ABC Conjecture）」の数学的定式化と検証を試みたプロジェクトです。数学的な難問であるABC予想をLeanの定理証明環境で再現し、証明の機械的検証を目指す先進的な取り組みを示しています。形式手法や定理証明を学ぶ研究者・技術者にとって興味深い資料となるでしょう。

https://github.com/morph-labs/lean-abc-true-almost-always

概要

「lean-abc-true-almost-always」は、数学の難問であるABC予想の「ほぼ常に真である」バージョンをLean定理証明支援環境を用いて形式化し、検証を試みるリポジトリです。ABC予想は数論における未解決問題の一つで、三つの整数に関わる性質を述べていますが、その証明は非常に困難です。本リポジトリは、Leanの高い厳密性と自動検証能力を活かし、同予想の一部定式化と証明補助を実装することで、数学の定理証明の機械化に寄与しています。Lean言語を用いた新たな数学的挑戦として注目されます。

GitHub

主な特徴

  • Lean言語によるABC予想の「True Almost Always（ほぼ常に真）」版の形式化
  • 数論的定理の機械的検証を目指した定理証明支援環境の活用
  • 複雑な数学的概念をLeanの型理論と論理で厳密に表現
  • 研究者やエンジニアが形式手法を学ぶための実践的なサンプルとして機能

技術的なポイント

本リポジトリはLeanという依存型理論に基づいた定理証明支援環境を用い、数学の未解決問題の一つであるABC予想の「ほぼ常に真である」という弱い形の定式化を形式化しています。Leanは証明の正当性を厳密に検証可能であり、数学的な概念をプログラム的に扱える点が特徴です。

ABC予想は、3つの正の整数a, b, cがa+b=cを満たすとき、整数の素因数の性質（radical）に基づいた不等式を述べるものです。証明の難易度から、完全証明は未だ確定していませんが、本リポジトリでは「ほぼ常に真」すなわち例外が極めて少ないという性質に注目し、Lean上でその定義や補題を構築しています。

技術的には、まずLeanの数学ライブラリを活用し、整数論の基本的な性質や素因数分解の理論を形式化します。次に「True Almost Always」という概念を、測度論的・集合論的な観点から定義し、ABC予想に関わる関数の性質を証明環境に落とし込みます。これにより、単なる手書き証明では検証困難な論理的な飛躍や見落としをLeanが防ぎ、数学的な正確性を保証することが可能となります。

また、Lean特有の依存型理論により、証明対象となる数学的対象の型と性質を密接に結びつけることができ、誤った論理展開を未然に防止します。さらに証明過程はコードとして管理でき、再利用や拡張、新たな定理の自動検証に役立ちます。

このように、本リポジトリは数学の難問を形式手法とプログラミング言語の融合によって新たに挑戦する意義深い例であり、数学者や形式手法研究者にとっても貴重なリソースとなるでしょう。Leanの習熟や数論の理解を深める教材としても活用が期待されます。

まとめ

LeanでABC予想の弱形式化に挑む、数学と形式手法の融合プロジェクト。